امید ریاضی

مقدمه

مفهوم امید ریاضی ، در اصل در ارتباط با بازی‌های شانسی بوجود آمده است و در ساده‌ترین صورتش حاصل‌ضرب مبلغی است که بازیکن امکان یبرد آن را در احتمال آنکه برنده شود. در واقع امید ریاضی یک میانگین است. یا همان مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی می‌باشد.

تعریف

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته و مقدار توزیع احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با

Latex Error:

{E(X)= \sum_{x} x.f(x)}

بهمین ترتیب اگر X یک متغیر تصادفی پیوسته و مقدار چگالی احتمال آن به ازای x باشد، مقدار مورد انتظار X برابر است با:

Latex Error:

{E(X)=\int_{-\infty}

{\infty} x.f(x)\, dx}

در بسیاری از مسائل آمار ، نه تنها مقدار مورد انتشار یک متغیر تصادفی X ، بلکه مقادیر مورد انتظار متغیرهای تصادفی وابسته به X نیز مورد توجه‌اند. مثلا ، ممکن است متغیر تصادفی Y مورد توجه ما باشد که مقادیرش با مقادیر X از طریق معادله

Latex Error:

{y=g(x)}

در ارتباط‌اند. برای مثال ممکن است باشد. بنابراین حرف X قرار گرفته داخل پرانتز در تعریف

Latex Error:

{E(X)}

ممکن است برحسب نیاز ما متفاوت باشد. تعیین امیدهای ریاضی را اغلب می‌توان با استفاده از قضایای زیر ساده کرد. این قضایا ما را قادر می‌سازد که مقادیر امید را از روی امیدهای دیگری که معلوم اند و یا براحتی قابل محاسبه‌اند حساب کرد.
قضیه
اگر b , a مقادیر ثابتی باشند آنگاه:

Latex Error:

{E(aX+b)=aE(X)+b}

قضیه
اگر

Latex Error:

{c_n , ... , c_2 , c_1}

مقادیری ثابت باشند آنگاه:

Latex Error:

{E\sum_{i=1}^n c_i g_i(x) = \sum_{i=1}

n c_i Eg_i(x)}

امید ریاضی و گشتاورها

اصطلاح "گشتاورها" مربوط به علم فیزیک است- اگر کمیت‌های در حالت گسسته جرم‌هایی نقطه‌ای باشند که بر نقاط محور x واقع در فواصل x از مبدا ، بطور قائم عمل کنند

Latex Error:

{\mu'_1}

مختص x مرکز ثقل است یعنی اولین گشتاور تقسیم بر

Latex Error:

{\sum_{x} f(x)=1}

و

Latex Error:

{\mu'_2}

گشتاور اینرسی است. این مطلب همچنین توضیح می‌دهد که چرا گشتاورهای

Latex Error:

{\mu'_r}

، گشتاورهای حول مبدا نام دارند- در قیاس با علم فیزیک ، طول بازوی دوم در این حالت فاصله تا مبدا است. این قیاس در حالت پیوسته نیز بکار می‌آید که در آن

Latex Error:

{\mu'_1 , \mu'_2}

باید مختص x مرکز ثقل و گشتاور اینرسی یک میله با چگالی متغیر باشد.

تعریف

rامین گشتاور حول مبدا متغیر تصادفی X ، که با

Latex Error:

{\mu'_r}

نشان داده می‌شود، امید ریاضی

Latex Error:

{X

r}

است. بص.رت نمادی برای r=0,1,2 , ... ،
وقتی X ، گسسته است:

Latex Error:

{\mu'_r= E(X

r)= \sum x

r.f(x)}

وقتی X پیوسته است:

Latex Error:

{\mu'_r=E(X

r)=\int_{-\infty}

{\infty} x

r.f(x)\, dx}

توجه می‌کنیم که در تعریف فوق

Latex Error:

{\mu'_1}

، میانگین توزیع X ، یا صرفا میانگین X نامیده می‌شود و آن را با نشان می‌دهیم بعبارت دیگر همان امید X می‌باشد.

گشتاور rامین حول میانگین

این نوع گشتاورها در آمار اهمیت فراوانی دارند. زیرا در توصیف شکل توزیع متغیر تصادفی ، یعنی شکل نمودار توزیع احتمال یا چگالی بکار می‌روند.

تعریف

گشتاور rام حول میانگین متغیر تصادفی X ، که آن را با نشان می‌دهیم مقدار امید

Latex Error:

{(X-\mu)

r}

است که در حالت گسسته توسط زیگما این امید برآورد می‌شود ولی در حالت پیوسته توسط انتگرال در بازه

Latex Error:

{(-\infty , \infty)}

.
دومین گشتاور حول میانگین در آمار اهمیت خاصی دارد زیرا پراکندگی توزیع متغیر تصادفی است؛ لذا به آن نماد خاصی و نام خاصی را داده‌اند بنام واریانس.

تابع مولد گشتاورها

به اینکه گشتاورهای بیشتر توزیع‌ها را می‌توان توسط محاسبه انتگرال‌ها یا مجموع‌های لازم معین کرد ولی شیوه دیگر استفاده از امید ریاضی به ترتیب زیر است:

Latex Error:

{\mu_x(t)=E(e

tx)}

از جمله کاربردهای توابع مولد گشتاورها که توسط امید ریاضی محاسبه می‌شوند یافتن rامین گشتاور حول مبدا است. در واقع rامین مشتق تابع مولد گشتاور روی t زمانی که t مساوی صفر باشد

Latex Error:

{\mu'_r}

را به ما می‌دهد.